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La teoría de conjuntos es la base de las matemáticas. Todos los conceptos matemáticos se definen en términos de las nociones primitivas de conjunto y la relación de pertenencia. En la teoría axiomática de conjuntos formulamos unos pocos axiomas simples sobre estas nociones primitivas en un intento de capturar los principios básicos “evidentemente verdaderos” de la teoría de conjuntos. A partir de estos axiomas, se pueden derivar todas las matemáticas conocidas. Sin embargo, hay algunas preguntas que los axiomas no logran resolver.

La teoría axiomática de conjuntos específica que estudiamos es la de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección.

En la primera unidad, se introduce el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, que consiste de variables, conectivos lógicos, cuantificadores, el símbolo no lógico de pertenencia Є y símbolos auxiliares. Con ellos se forman las fórmulas atómicas, cuya combinación, siguiendo ciertas reglas de formación da todas las fórmulas bien formadas de nuestro lenguaje. Del lenguaje recién descrito obtenemos la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel adjuntando axiomas, como el axioma de extensión y el axioma de comprensión o separación. También se introducen axiomas que dicen que ciertas colecciones forman conjuntos. Por ejemplo, el axioma del par, el axioma de la unión y el de sustitución. Finalmente, en base a los axiomas introducidos, se examinan las nociones de relación y función.

En la unidad dos, iniciamos la investigación del universo de conjuntos. Estudiamos los conceptos de orden y buen orden, ya que estos conceptos revelan la naturaleza de este universo de conjuntos. Se introducen los números ordinales, que son una parte indispensable del estudio de los buenos órdenes. Llamamos a los ordinales finitos números naturales, pues satisfacen los axiomas de Peano, como demostramos. 

En la unidad siguiente, la unidad tres, nos dedicamos al estudio cuantitativo de los conjuntos. Los números cardinales, son el punto focal de este estudio. Usamos funciones inyectivas para comparar el tamaño de los conjuntos. Definimos conjuntos finitos, los que no lo son (infinitos) e introducimos la técnica de inducción sobre conjuntos finitos que es muy útil para probar las propiedades de los conjuntos finitos. Uno de los objetivos de la teoría axiomática de conjuntos es evitar las paradojas. Una de esas paradojas, la paradoja de Russell, surgió de la aceptación ingenua de la idea de que, dada cualquier propiedad, existe un conjunto cuyos elementos son aquellos objetos que tienen la propiedad dada. Una colección general especificable por medio de cualquier fórmula, que puede ser o no un conjunto, será llamada una clase, por ejemplo la clase de todos los conjuntos y la clase de los ordinales, que son llamadas clases propias ya que no son conjuntos. En la clase de los ordinales se demuestran los principios de recursión e inducción transfinita, que generalizan estos principios respectivos en el conjunto de los números naturales.

Se determina el tamaño de un conjunto finito contándolo. De manera más general, si un conjunto puede ser bien ordenado, entonces debe ser equipotente a algún ordinal y entonces hay uno menor de tales ordinales, que llamamos la cardinalidad del conjunto. Se define entonces un cardinal como un ordinal cuya cardinalidad es él mismo. Los números naturales, por ejemplo, son cardinales. Para terminar la unidad, se introduce la suma y multiplicación de números cardinales y sus propiedades básicas, que resultan ser las esperadas.  El cálculo de estas operaciones es muy simple, no así el de la exponenciación de cardinales, que se estudia en la última unidad.

La unidad cuatro, está dedicada a un estudio más amplio y profundo de los ordinales. Nos ocupamos de las operaciones de adición, multiplicación y exponenciación de ordinales. Luego comenzamos a estudiar las propiedades de cofinalidad de los ordinales y encontramos e investigamos a los cardinales inaccesibles. Este es un primer paso de nuestra incursión, bastante limitada, en el área altamente interesante e importante de los cardinales grandes.

En la última unidad del curso, se introduce el axioma de elección, que ha resultado ser el axioma más importante e interesante de la teoría de conjuntos. Este axioma es esencial para la mayoría de la teoría avanzada cuantitativa y combinatoria en la teoría de conjuntos, así como para muchas aplicaciones en diversos campos matemáticos. Aquí, presentamos algunas de ellas al álgebra, al análisis matemático y a la teoría de la medida.

Estableceremos la equivalencia de varios enunciados de la teoría de conjuntos con el axioma de elección. De estas afirmaciones, el teorema del buen orden y el lema de Zorn se encuentran entre las consecuencias más centrales del axioma de elección.

Fundamental para establecer la teoría de conjuntos es el concepto de poder considerar cualquier colección de objetos como una sola entidad. Ahora bien, antes de que podamos formar una colección de objetos, esos objetos ¡primero deben estar disponibles para nosotros! Comenzamos con una colección inicial de objetos, luego consideramos conjuntos de estos objetos, luego conjuntos de estos conjuntos de objetos, y así sucesivamente. Nuestra teoría de conjuntos ciertamente debería reflejar esta idea. De hecho, cuando formamos cualquier conjunto C, el conjunto todavía no puede estar disponible para nosotros, por lo que seguramente nunca puede ser el caso de que ¡CЄ C! Poniendo estas consideraciones vagas en un entorno más preciso, vemos que la teoría de conjuntos es esencialmente de naturaleza jerárquica. Por recursión, se define la jerarquía acumulativa de conjuntos (o la jerarquía de Zermelo, llamada así por su inventor) y entonces la clase de conjuntos bien fundados, que son los conjuntos en algún rango de esta jerarquía. El axioma de fundación dice simplemente que todos los conjuntos son bien fundados y es el último axioma que estudiamos, con el cual completamos la teoría de Zermelo-Fraenkel.

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